阪大理系数学'22年前期[5]

座標平面において、t を媒介変数として
 ()
で表される曲線をCとする。曲線Cx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。


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解答 媒介変数表示された関数のグラフの面積を計算する問題です。なお、定積分と面積(2)を参照してください。

 ・・・@ (微分の公式積の微分法を参照)
とすると、においては
 ・・・A
とすると、においては
のとき、
のとき、
(とおきます)(とおきます)
のとき、(とおきます)(とおきます)
のとき、
増減表は、以下のようになります。
t0   π
0
x0
0
y00

増減表より、曲線C (グラフは右図、種々の関数のグラフ(7)を参照)x軸で囲まれた部分の面積Sは、曲線Cの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積から、曲線Cの部分とx軸の間に挟まれた部分の面積を引いたものです。
とおくと、@より
においては、
xのときt
においては、
xのときt

 (2倍角の公式半角の公式を参照)
1項の積分は(不定積分の公式を参照)
2項の積分は(部分積分法を参照)
より、
......[]



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