慶大理工数学'13[4]

放物線と直線で囲まれた図形を、直線のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めたい。
(1) とする。直線上にあり原点Oからの距離がrとなる点のうち、x座標が0以上の点をPとする。点Pを通り直線に垂直な直線をとすると、の方程式はとなる。また、点Pが放物線上にあるのは、のときである。
(2) とし、点Pと直線(1)のようにとると、直線と放物線の交点のうち、x座標が0以上の点をQとする。点Pと点Qの距離PQ2乗をrを用いて表すと、となる。求める過程を解答欄(2)に書きなさい。
(3) 求める立体の体積V
となることを用いて、Vを求めなさい。求める過程も解答欄(3)に書きなさい。


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解答 斜回転体の体積を求める問題です。

(1) 直線上にあって原点Oからの距離がrとなる点は、Pです。
Pを通り、直線と垂直な直線は(直線の平行と垂直を参照)
 ・・・@
() ......[]
とを連立すると、

Pが放物線上にあるのは、のときです。
() 2 ......[]

(2) 放物線と直線で囲まれた図形は、,つまり、の部分に位置しています。
@とを連立すると、
 (2次方程式を参照)

Q
x座標はより、

() ......[]
(3)
求める体積Vは、
 (x軸のまわりの回転体を参照)
とおくと、rのとき、u
 
(置換積分を参照)



......[]


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