慶應大学理工学部2023年数学入試問題


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[1](1) とする。における微分係数を、定義に従って求めなさい。計算過程も記述しなさい。

(2) とする。で微分可能でないことを証明しなさい。

(3) 閉区間上で定義された連続関数が、開区間で微分可能であり、この区間で常にであるとする。このとき、が区間で減少することを、平均値の定理を用いて証明しなさい。
[解答へ]


[2] kを正の実数とし、空間内に点OABをとる。点COABを含む平面上の点であり、で、四角形OACBOAを底辺とする台形であるとする。

(1) である。台形OACBの面積をkを用いて表すととなる。また、線分ACの長さをkを用いて表すととなる。

(2) 台形OACBが円に内接するとき、である。

(3) であるとし、直線OBと直線ACの交点をDとする。△OBPと△ACPの面積が等しい、という条件を満たす空間内の点P全体は、点Dを通る2つの平面上の点全体から点Dを除いたものになる。これら2つの平面のうち、線分OAと交わらないものをαとする。点Oから平面αに下ろした垂線の長さはである。
[解答へ]


[3] 何も入っていない2つの袋ABがある。いま、「硬貨を1枚投げて表が出たら袋A,裏が出たら袋Bを選び、以下のルールに従って選んだ袋の中に玉を入れる」という操作を繰り返す。

−−ルール−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

●選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より多いか、2つの袋の中に入っている玉の数が同じとき、選んだ袋の中に玉を1個入れる。
●選んだ袋の中に入っている玉の数がもう一方の袋の中に入っている玉の数より少ないとき、選んだ袋の中に入っている玉の数が、もう一方の袋の中に入っている玉の数と同じになるまで選んだ袋の中に玉を入れる。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

たとえば、上の操作を
3回行ったとき、硬貨が順に表、表、裏と出たとすると、AB2つの袋の中の玉の数は次のように変化する。


(1) 4回目の操作を終えたとき、袋Aの中に3個以上の玉が入っている確率はである。また、4回目の操作を終えた時点で袋Aの中に3個以上の玉が入っているという条件の下で、7回目の操作を終えたとき袋Bの中に入っている玉の数が3個以下である条件付確率はである。

(2) n回目の操作を終えたとき、袋Aの中に入っている玉の数のほうが、袋Bの中に入っている玉の数よりも多い確率をとする。を用いて表すと、となり、これよりnを用いて表すととなる。

(3) n回目()の操作を終えたとき、袋Aの中に個以上の玉が入っている確率はであり、個以上の玉が入っている確率はである。
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[4](1) において常に不等式が成り立つような実数bの値の範囲はである。

以下、bを満たす0でない実数とし、数列を、
 ()
で定義する。

(2) が成り立つことを証明しなさい。

(3) である。

(4) nbを用いて表すと、となる。

(5) である。
[解答へ]


[5](1) αではない複素数とする。複素数平面上でを満たす点z全体からなる図形をCとする。Cαを満たすとき直線となり、を満たさないとき円となる。αを満たさないとき、円Cの中心をαを用いて表すととなる。αを満たすとき、直線C上の点zのうち、その絶対値が最小となるものをαを用いて表すととなる。

(2) とする。自然数abcの組で、かつが自然数であるものの総数は、個である。その中での値が最大になるのはのときである。
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