京大理系数学'05年前期[1]

xy平面上の原点と点を結ぶ線分(両端を含む)Lとする。曲線Lと共有点をもつような実数の組の集合をab平面上に図示せよ。


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解答 入試では頻出の2次方程式の解の配置の問題です。

原点と点を結ぶ直線は傾きが
2なので、 ・・・@

放物線:
・・・A と、L,即ち、直線@のの部分とが共有点をもつ
@とAを連立してできる2次方程式:の範囲に少なくとも1解を有する
1) がただ1つの解をの範囲にもつかまたは01を解にもつ
または、
2) が重解も含めて2つの解をの範囲にもつ

1) (両端での関数の値が異符号か0)

この不等式の表す領域は、直線(a)から下でかつ直線 ・・・B から上の領域、及び、直線から上でかつ直線から下の領域です。 ・・・C

2) a) の判別式:
かつ
b) の軸の位置:について、
かつ
c) かつ

a)より、
b)より、
c)より、 かつ

a)
かつb)かつc)の表す領域は、放物線 ・・・D から下側であって、かつ、直線(a)から上であって、かつ、直線から上であって、かつ、直線から右で、かつ、直線から左の領域です。 ・・・E

求める集合は、CとEの和集合であって、図示すると右図斜線部(境界線を含む)


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