京大理系数学'22年前期[3]

nを自然数とする。3つの整数の最大公約数を求めよ。


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解答 のときのときのときのときのときのときとなるので、規則性があることに見当がつくと思います。

が約数
mを持つとすると、kを自然数として、と表せます。このとき、

よって、も約数mをもつとすると、m6の約数です。
よって、のいずれかです。
のいずれかのとき、とも
mの倍数ですが、
より、のいずれかであれば、mの倍数です。つまり、最大公約数は、1236のいずれかに限られます。
(s:整数、)とおくと、

これは、
6の倍数+()という形に表せる(mod記号を使うと、 (mod. 6)のとき (mod. 6)剰余類を参照)であることを意味しています。
のとき、なので、
2の倍数ですが36の倍数にはなりません。このとき、 ( (mod. 6)) ( (mod. 6))2の倍数で、
のとき、なので、は奇数であって
3の倍数ですが6の倍数にはなりません。このとき、 ( (mod. 6)) ( (mod. 6))3の倍数で、
のとき、なので、
6の倍数です。 ( (mod. 6)) ( (mod. 6))6の倍数で、
のとき、なので、は奇数であって、
3の倍数にはなりません。このときは、
以上より、
n6で割り切れるときn6で割って余りが15のときn6で割って余りが24のときn6で割って余りが3のとき ......[]


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