数列の極限   関連問題


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無限に項が続く数列を無限数列と言います。
一般項が、で与えられる無限数列では、,・・・,,・・・ として、
nをどんどん大きくしていくと、どんどん1に近づいていきます。
このように、数列において、
nを限りなく大きくしていくときに、の値が限りなくある値αに近づくとき、
のとき、
または、

と書いて、数列
α収束すると言います。また、値α極限値と言います。

数列においては、,・・・,,・・・ として、
nをどんどん大きくしていくと、どんどん0に近づいていきます。よって、です。

一般項が、で与えられる無限数列では、,・・・,,・・・ として、
nをどんどん大きくしていくと、どんどん大きな値になっていきます。
このように、数列において、
nを限りなく大きくしていくときに、の値が限りなく大きくなるとき、
のとき、
または、

と書いて、数列
正の無限大に発散すると言います。このときには極限値はありません。
一般項が、で与えられるような数列の場合には、
nをどんどん大きくしていくと、負の数で絶対値がどんどん大きくなっていきます。
このような場合には、
のとき、
または、

と書いて、数列
負の無限大に発散すると言います。このときには極限値はありません。

注.無限大記号
'は、「限りなく大きくなる」ことを表す記号であって、値ではありません。従って、となる場合の'を極限値とは言いません。また、などとするのは誤りです。

一般項が、で与えられる無限数列では、,・・・,,・・・ として、
nをどんどん大きくしていっても、がある値に近づくわけではありません。
このような場合には、数列
振動すると言います。振動する場合も含めて、発散と言います。
振動する場合には、
のように書きようがありません。この場合には、極限はない、と言います。極限値もありません。

それに対して、の場合には、極限値が
αであるとともに、極限αという言い方もします。
の場合には、
極限は正の無限大、の場合には、極限は負の無限大、と言います。

以上を整理すると下記のようになります。

数列が収束する場合、,極限,極限値は
α
数列が発散する場合、

極限の性質
のとき、
khを実数として、
(線形性) 

すべての自然数
nについてであれば、
すべての自然数
nについてであって、であれば、

1 (は自然数,は実数)
の場合、分母分子をで割ると、

  
(分子の方が強い)
の場合、分母分子をで割ると、
 
(分母の方が強い)
の場合、分母分子をで割ると、
 
(分母分子の最高次の項の係数が残ります)

2
  
(和差公式を利用する)
 
  
(分母分子をnで割る)
 


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