東工大数学'13前期[5]

abを正の実数とし、円と楕円を考える。
(1) に内接するためのabの条件を求めよ。
(2) とし、に内接しているとする。このとき、第1象限におけるの接点の座標を求めよ。
(3) (2)の条件のもとで、の範囲において、で囲まれた部分の面積を求めよ。


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解答 円と楕円が接する問題は、東大理系'96年前期[6],東工大'98年後期[2]などの類題があります。
に内接するとき、楕円の軸端点において接する場合と、軸端点以外の第
1象限、第4象限において接する場合の2通りがあることに注意します。

(1) の式を変形して、 ・・・@
の式を変形して、 ・・・A
@とAを連立すると、

 ・・・B
@でより円の存在範囲は、 ・・・C
Aでより楕円の存在範囲は、 ・・・D
に内接するので、Cの範囲はDの範囲に含まれる必要があります。よって、
ここで、の接し方で場合分けします。
(i) のとき、円は、を直径の両端とする円になりますが、このとき、において接します。
このとき、Bは、
この2次方程式は、のほかに、のときには見かけ上という解をもっています。円が円に内接する条件は、2次方程式Bが、Cの範囲:以外の解を持たないこと(解をもってしまうと、ここでが交わることになります)です(2次方程式の一般論を参照)。つまり、となるか、または、,または、
よって、,または、,または、かつ
以上より、
より、
(ii) のとき、より、円においてと接することはなく、接するとすれば、においてであって、に第1象限、第4象限で内接します。
このときは、円が円に内接する条件は、2次方程式Bが、Cの範囲:に重解をもつことです。
()
このとき、重解は、
これがBの範囲に属することから、

 ∴
以上より、求める条件は、
かつ
または、かつ ......[]

(2) は、を満たすので、このとき、に第1象限、第4象限において内接します。
(1)よりBでとすると、

 ∴
Aより、 ∴
よって、第
1象限の接点は ......[]

(3) 以下、とします。求める面積Sは、に挟まれた部分()の面積で、
 (定積分と面積(その2)を参照)

最初の積分は、半径の円の (頂角の扇形)と、底辺,高さの三角形の面積の和であり、最後の積分は、半径の円の (頂角の扇形)と、底辺,高さの三角形の面積の和になります(置換積分(その2)を参照)

......[]


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