東工大数学'21年前期[4]

Sを、座標空間内の原点Oを中心とする半径1の球面とする。S上を動く点ABCDに対して
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) とするとき、によらない定数kによって
と書けることを示し、定数kを求めよ。
(2) ABCDが球面S上を動くときの、Fの最大値Mを求めよ。
(3) Cの座標が,点Dの座標がであるとき、となるS上の点ABの組をすべて求めよ。


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解答風変わりな問題で、何らかの背景があるように感じますが、寡聞にして知りません。凝らずに、素直に計算して行けば自然にゴールにたどり着きます。
(2)で、という式が出てきますが、これだけでは、が必要条件と言えるだけです。「実はであってとなる場合が存在しない」、ということがあるかも知れません。「Fの最大値が」が十分条件と言えるためには、になるのがどういう場合か、ということを明示しなければいけません。それが(3)です(条件・命題を参照)

ABCDは、原点Oを中心とする半径1の球面上の点なので、

(内積を参照)
同様に、より、
 ・・・@

(1)  ・・・A
Aのよう書けるためには、@と比較して、であればよく、 ......[]
(2) Aにおいて、とおくと、より、
 ・・・B
なので、となることがあれば、そのときF最大となりますが、となるとき、です。ODの中点をEとして、△ABC重心Eになります。例えば、ABCが、Eを通りODに垂直な面で球面Sを切ったときの切り口にできる円周上の点で、正三角形をなすような位置にあれば、こうした状況になります。具体的に書くと、DEABCのとき、であって、△ABCの重心がEになります。よって、のとき、Fの最大値: ......[]
(3) となるとき、(2)より、となります。つまり、
 ・・・C

なので、これは、であることを意味します。
よって、Cより、

AB ......[]
注.(2)で、Fの最大値はとし、(3)で論証します、と注意書きをつけておく、という解答の書き方もあり得ます。



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