東大理系数学'13年前期[1]

実数abに対し平面上の点

 ()
によって定める。このとき、次の条件(i)(ii)がともに成り立つようなをすべて求めよ。
(i)
(ii) は相異なる。


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解答 最近流行の直交変換に関する問題です。東大理系では、昨年の[5][6]に続いて3題、行列の問題が連続することになります。


行列を用いて書くと、
 (行列と連立1次方程式を参照)
とおきます。です。ところで、
これを繰り返し用いることにより、
より、
0以上の実数なので、に限られます。
これを満たす実数
abを、
 () ・・・@ (三角関数を参照)
とおくと、
これは、角θ だけ反時計回りに回転させる回転移動を表す行列です(1次変換(その2)を参照)
 (行列の積を参照)
と仮定すると、

よって、帰納的に、に対して、 (数学的帰納法を参照)
より、
よって、
 (k:整数,)
 (k:整数,) ・・・A
として、
のときも含めて、は、を反時計回りにだけ回転させた点です。
のとき、となり不適。

のとき、 ()は、相異なる点です。
のとき、となり不適。
のとき、となり不適。
のとき、となり不適。
のとき、 ()は、相異なる点です。
以上と@,Aより、

......[]


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