東大文系数学'13[1]

関数のグラフをC,原点Oを通る傾きtの直線をとし、CO以外に共有点をもつとする。Cの共有点をOPQとし、の積をとおく。ただし、それら共有点の1つが接点である場合は、OPQのうちの2つが一致して、その接点であるとする。関数の増減を調べ、その極値を求めよ。


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解答 極値の計算など、技巧を要する面はありますが、ほとんど考えるところのない、単に面倒な計算問題です。

C ・・・@
 ・・・A
@,Aを連立すると、

 ・・・B
または
以外に実数解をもつので、
 ・・・C
の判別式:
 (2次方程式の一般論を参照)
 ・・・D
のときには重解となり、となります。
Dの
2解をpqとして、解と係数の関係より、
PQの座標をとして、

のとき、Cはを解にもち、Bは重解をもちます。つまり、このとき、Cで接しています。PQとなるので、となるわけです。
のとき、


とすると、 (複号が±どちらであってもです)
の範囲に極値をもたず、この範囲でより、は単調増加です。
のとき、


とすると、
で割ると、商が,余りはになるので、

ここで、 (とします)とすると、より、
(複号同順)
より、合わせて増減表は以下のようになります。
t


3
×00×
80
増減表より(3次関数の増減を参照)、極値は、のとき極小値のとき極大値のとき極小値0 ......[]


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