東大理系数学'21年前期[3]

関数
に対して、のグラフをCとする。点AにおけるCの接線を
とする。
(1) Cの共有点でAと異なるものがただ1つ存在することを示し、その点のx座標を求めよ。
(2) (1)で求めた共有点のx座標をαとする。定積分
を計算せよ。


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解答 微積分の計算問題です。(2)はあらゆるタイプの積分が登場します。難しくはないですが面倒です。慎重に計算しましょう。

(1) より、点Aにおける接線は、より、
()
を連立して、
分母を払って整理すると、

 (因数定理を参照)
よって、以外の解はのみで、Cの共有点でAと異なるものがただ1つ存在し、その点のx座標は、 ......[]
(2) です。とおくと、


とおくと、は、 (置換積分を参照)とおいて、より、xのときθ (),よって、
 (三角関数の積分を参照)



(不定積分の公式を参照)
以上より、

......[]



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