東大理系数学'22年前期[4]

座標平面上の曲線
C
(1) 座標平面上のすべての点Pが次の条件(i)を満たすことを示せ。
(i) Pを通る直線で、曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。
(2) 次の条件(ii)を満たす点Pのとりうる範囲を座標平面上に図示せよ。
(ii) Pを通る直線で、曲線Cと相異なる3点で交わり、かつ、直線と曲線Cで囲まれた2つの部分の面積が等しくなるものが存在する。


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解答 直線と3次曲線で囲む2つの部分の面積が等しくなるのは、直線が変曲点を通る場合です。3次曲線が変曲点について対称だからです。試験会場で時間に追われる場合、減点覚悟でこの事実(3次関数のグラフを参照)を用いて解答することもできます。

(1) Pを通る直線: ・・・@
Cと連立すると、
 ・・・A とおくと、
とすると、であれば、
が相異なる3実数解を持つ条件は、極大値・極小値<0 (3次方程式を参照)

とおくと、3次関数で、より、任意の実数pqに対して、
となるm ()が存在します。よって、座標平面上のすべての点Pが条件(i)を満たします。

(2) (1)により、座標平面上の任意の点から曲線Cと相異なる3交点を有する直線を引くことができるので、この直線を@として、Cと連立すると、Aのについて、3次方程式:3つの相異なる実数解αβγ ()を持ち、
となります。ここに、3次方程式の解と係数の関係より、
 ・・・B
です。においてにおいてより、曲線Cと直線@とで囲む2つの部分の面積が等しいので、

 (定積分を参照)


 (定積分の公式を参照)

Bより、なので、,よって、
より、 (つまり、2つの部分の面積が等しいとき、直線は変曲点、本問では原点、を通ります)です。このとき、Bより、 ∴  ・・・C
直線@は、
また、Bの
2番目の式でとして、
Bの
1番目の式でとして、より、,また、,よって、
 ・・・D
のとき、変曲点と結ぶ直線(y)は曲線Cと、問題文中にある2つの部分を作らないので、(原点)の場合を除いてです。としてCより,Dより、
 (不等式の証明を参照)
のとき、,つまり、
のとき、,つまり、
のときは、であればDを満たすので、条件
(ii)を満たす直線が存在します。
Pのとりうる範囲を図示すると右図黄緑色着色部(原点を含み、原点以外の境界線上を除く)



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