早大理工数学'21[2]

整式について、以下の問に答えよ。
(1) で割ったときの余りを求めよ。
(2) で割ったときの余りを求めよ。
(3) 自然数n3の倍数であるとき、で割り切れることを示せ。


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解答 だとすると、となりますが、をかけてとなるので、割った余りなので、よりで割って余りは (mは自然数)とおいて、より、で割り切れる、ということなのですが、ここでは、因数定理を用いて解答を書いてみます。

(1) 4次方程式4解を ()とします。は、
を満たします。これより、が成り立ちます。をかけて、 ・・・@,つまり、
そこで、とすると、
よって、 ()は、の解で、 ()で割り切れます。つまり、因数定理より、で割り切れます。よって、を整式として、
 (多項式の除算を参照)
4次式で割った余りは3次以下の多項式で、で割ったときの余りは ......[]
注.は、 (複合任意)です。
[別解] より、で割った余りはとすることもできます。いきなり割り算を実行して、として余りを求めることもできます。
(2) @より、などを用いて、
 ()
そこで、とおくと、
よって、 ()は、の解で、 ()で割り切れます。つまり、で割り切れます。よって、を整式として、

3次以下の多項式で、で割ったときの余りは、 ......[]
(3) とおくと、 (mは自然数)として、@より、などを用いて、
 ()
よって、 ()は、の解で、 ()で割り切れます。つまり、因数定理より、で割り切れます。


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