早大理工数学'21[4]

nk2以上の自然数とする。n個の箱の中にk個の玉を無作為に入れ、各箱に入った玉の個数を数える。その最大値と最小値の差がとなる確率を ()とする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) のとき、を求めよ。
(2) のとき、を求めよ。
(3) のとき、を求めよ。


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解答 計算は大したことはありませんが、少々思い悩むところがある問題です。n部屋にk人を入れる部屋割りの問題や、立候補者n人、投票者k人の選挙の投票パターンの問題と同じように考えます(確率を参照)。箱、玉には区別がないのですが、確率を考える場合は、区別できるものとして場合の数を数えることに注意してください。

k個の玉の1個ごとにどの箱に入るか箱の選び方がn通りあり、玉の入れ方は全部で通りあり(重複順列を参照)、その各1通りは同様に確からしい。 ・・・()

(1) ()において、として、全事象は通りあります。箱をとします。
最大値と最小値の差が3になるのは、1つの箱に3個の玉が入り、もう1つの箱に玉が入らない場合で、玉が3個ともに入る場合と、3個ともに入る場合と2通りあり、 ......[]
最大値と最小値の差が2になることはなく、 ......[]
最大値と最小値の差が1になるのは、1つの箱に2個入り、もう1つの箱に1個入る場合で、2個、1個入るとき、3個の玉のどれがに入るかが3通りあり、1個、2個入るときも3通りで、 ......[]
最大値と最小値の差が0,つまり2つの箱に同数ずつ入ることはなく、 ......[]
(2) ()において、として、全事象は通りあります。n個の箱を,・・・,とします。
最大値と最小値の差が2になるのは、1つの箱に玉が2個入り、他の箱には玉が入らない場合です。箱を,・・・,として、2個とも2個とも,・・・,2個とも,のn通りあり、 ......[]
最大値と最小値の差が1になるのは、2個の箱に玉が1個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、で箱が2個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、で分けて考える必要があります。
のとき、
n個の箱から玉が入る2個を選ぶのが通り、仮にを選んだとして、2個の玉のどちらをに入れるかが2通りあり、 ......[]
のとき、最大値と最小値の差が0,つまり、n個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、 ......[]
のとき、最大値と最小値の差が1になることはなく、 ......[]
のとき、最大値と最小値の差が0になるのは、2個の箱に玉が1個ずつ入る場合で、1個の玉がに入るか、に入るか2通りあり、全事象は通りで、 ......[]
(3) ()において、として、全事象は通りあります。n個の箱を,・・・,とします。
最大値と最小値の差が3になるのは、1つの箱に玉が3個入り、他の箱には玉が入らない場合です。3個とも3個とも,・・・,3個とも,のn通りあり、 ......[]
最大値と最小値の差が2になるのは、1つの箱に2個の玉が入り、それ以外のどれか1つの箱に1個の玉が入り,他の箱には玉が入らない場合です。n個の箱から玉が入る2個を選ぶのが通り、仮にを選んだとして、2個の玉を入れるのがかで2通り、3個の玉のうち、1個だけ入れる箱にどの1個を入れるかが3通りあり、 ......[]
最大値と最小値の差が1になるのは、3個の箱に玉が1個ずつ入り、他の箱に玉が入らない場合ですが、で箱が3個しかないときには、こうしたことが起こりません。従って、で分けて考える必要があります。
のとき、
n個の箱から玉が入る3個を選び、3個の箱のどれに3個の玉のどの玉を入れるかが通りあり、 ......[]
のとき、最大値と最小値の差が0,つまり、n個の箱に同数ずつ玉が入ることはなく、 ......[]
のとき、最大値と最小値の差が1になることはなく、 ......[]
のとき、最大値と最小値の差が0になるのは、3個の箱に玉が1個ずつ入る場合で、にどの玉が入るかが通りあり、全事象は通りで、 ......[]



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