早大理工数学'22[4]

一辺の長さがである正八面体の頂点を右図のようにとする。各に対して、以外の5点を頂点とする四角錐(すい)のすべての面に内接する球(内部を含む)とする。の体積をXとし、の共通部分の体積をYとし、の共通部分の体積をZとする。さらに、,・・・,を合わせて得られる立体の体積を ()とする。以下の問に答えよ。ただし、(1)は答のみを解答用紙の該当欄に書け。
(1) となる整数abcの場合について求めよ。
(2) Xの値を求めよ。
(3) の値を求めよ。


【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

解答 早稲田らしいオリジナリティー溢れる問題で、空間感覚も必要です。

は正四角錐に内接する球、は正四角錐に内接する球、は正四角錐に内接する球です。

は正方形で隔てられているので、には共通部分はありません。以外の
5点、以外の5点を、それぞれ5頂点とする四角錐に内接する球であって、は正八面体の対向する頂点です。同様にには共通部分はありません。

正八面体の対称性から、の位置関係、の位置関係、の位置関係、の位置関係は等しく、その共通部分の体積は
Yです。また、以外の5点、以外の5点を、それぞれ5頂点とする四角錐に内接する球であって、は正八面体の1辺の両端となる隣接頂点です。

6個の頂点から2個の頂点を選ぶ選び方は、通り(組み合わせを参照)ありますが、このうち対向する頂点の組が、3通りあり、3通りには共通部分がありません。隣接頂点の組み合わせは残りの12通りで、これらの組み合わせでは、共通部分の体積がYとなります。 ・・・@

また、正方形の中心、即ち、線分と線分の交点を
Oとすると、は正方形から側に位置し、は正方形から側に位置し、は正方形から側に位置し、正方形,正方形,正方形1Oを共有していて、の共通部分は三角錐(1Oと正八面体の1側面とでできる三角錐)の中にあり、この体積がZです。と同じ位置関係にあるのは、正八面体が8個の側面を持つので、他に、など、8通りあります。 ・・・A

6個の頂点から3個を選ぶ選び方は、通りありますが、上記の8通り以外、例えばのように、を含まない正五角錐、を含まない正五角錐、を含まない正五角錐に内接する球の組み合わせでは、が正八面体の側面でない△をなし、が対向する頂点なので、が共通部分を持たず、3個の球でも共通部分を持ちません。

4個の球、例えばでは、が共通部分を持たないため、4個の球で共通部分を持ちません。ではが共通部分を持たず、ではが共通部分を持ちません。このように、共通部分を持たない2個の球の組ができてしまうので、4個の球では、共通部分ができません。5個の球、6個の球でも同様に、共通部分はできません。

上記の考察を論述するのが難しいため、
(1)では解答のみでよいことになっていますが、論述不要でも考察することは必要です。

(1) の場合、を合わせて得られる立体の体積は、2個の球の体積の和から、共通部分の体積Yを引いて、 ・・・B
の場合、を合わせて得られる立体の体積は、3個の球の体積の和から、の共通部分、共通部分、の共通部分の体積の和を引き、引きすぎたの共通部分の体積Zを加え直して(こうした考え方は、集合の要素の数の考え方と同様です) ・・・C
の場合、
4個以上の球には共通部分がないので、,・・・,を合わせて得られる立体の体積は、6個の球の体積の和から、@より12通りの2個の球の共通部分体積を引き、Aより8通りの3個の球の共通部分体積を加え直して、 ・・・D
Bより、のとき、
......[]
Cより、のとき、 ......[]
Dより、のとき、 ......[]

以後、正八面体の1辺の長さが、三平方の定理を使うのにも煩雑なので、とおきます。

(2) 例えばの場合、その中心をとすると、上の点で、右図のように、の中点をMとし、と球との接点をLとすると、より、△∽△ ∴ MO ・・・E
 ・・・F
より、球の半径をとして、,E,Fより、
r
よって、
より、 ・・・G
の体積
Xは、 ......[]

(3) の中心上にあって、は正方形と垂直なので、,また、より、△は直角二等辺三角形で、Gより、の中点をDとして、,よって、の共通部分の体積Yは、の体積Xのうち、点Dを通りに垂直な面からと逆側の部分の体積の2倍です。の半径はなので、x軸にとり、点ととすると、点D,球面との交点でとなります。から距離xのところでに垂直な面での共通部分を切ったときの断面にできる円の半径は,これより、の共通部分の体積Yは、断面の円の面積をxで積分することにより、
Bを用いて、
......[]



【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。
【広告】広告はここまでです。

  早大理工数学TOP  数学TOP  TOPページに戻る

【広告】ここから広告です。ご覧の皆さまのご支援ご理解を賜りたく、よろしくお願いいたします。

【完全記憶術】円周率π(Pi)円周率表記〜「円周率(π)」を暗記するためにはじめに読むべき一冊〜
【広告】広告はここまでです。

各問題の著作権は
出題大学に属します。

©2005-2023
(有)りるらる
苦学楽学塾 随時入会受付中!
理系大学受験ネット塾苦学楽学塾
(ご案内はこちら)ご入会は、
まず、こちらまでメール
お送りください。
inserted by FC2 system