東大物理'04年前期[2]

2-1に示すように直交座標系を設定する。初速度の無視できる電荷q (),質量mの陽子が、y軸上で小さな穴のある電極aの位置から電極ab間の電圧Vで+y方向に加速され、z軸に垂直でy軸方向の長さがlの平板電極cd ()からなる偏向部に入る。cd間には+z方向に強さEの一様な電界がかけられている。これらの装置は真空中にある。電界は平板電極c,dにはさまれた領域の外にはもれ出ておらず、ふちの近くでも電極に垂直であるとし、地磁気および重力の影響は無視できるとして、以下の問に答えよ。
T 電極bの穴を通過した瞬間の陽子の速さを、Vqmを用いて表せ。
U その後、陽子は直進し、速さのままで偏向部に入る。
(1) 陽子が電極cに衝突することなく偏向部を出る場合、その瞬間のz座標(変位)を、qmlEを用いて表せ。
(2) Eがある値より大きければ陽子は電極cに衝突し、小さければ衝突しない。その値を、Vlhを用いて表せ。
V 陽子のかわりにアルファ粒子(電荷,質量)を用いて同じVEの値で実験を行ったところ、偏向部を出る瞬間のz座標(変位)であった。を用いて表せ。
W Eの値をに固定し、電極cdにはさまれた領域に+x方向に磁束密度B ()の一様な磁界をかけ、再び陽子を用いて実験した。
(1) Bをある値にしたところ、陽子は偏向部を直進し、偏向部を通過するのに時間を要した。を、lを用いてそれぞれ表せ。
(2) Bをある値 ()にしたところ、陽子が偏向部を出る直前のz座標(変位)は、 ()であった。このときの陽子の速さを、qmVを用いて表せ。
(3) Bの範囲内で変化させて実験を繰り返し、陽子が偏向部を通過するのに要する時間Tを測定した。このとき、BTの関係を表すグラフはどのようになるか、図2-2()()の中から最も適当なものを一つ選べ。


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解答 Wでローレンツ力の向きが方向からずれるので、少し考えなければいけませんが、エネルギー的考察で解決できます。

T 陽子a-b間の電界よりエネルギーを受け取って加速され、速さとなります。エネルギーの原理より、
......[]

U(1) 電極b通過後、陽子は、y方向にを受けないので、y方向では等速度運動します。速さ距離l進む時間は、
z方向の陽子加速度成分aとして、この方向の運動方程式

z
方向の陽子の運動は等加速度運動で、時間の間に進む距離は、
......[]

(2) 陽子が電極cに衝突しないために、
(1)の結果を代入して、
......[]

V U(1)の結果に、Tの結果を代入すると、
・・・@
陽子アルファ粒子に代わると、のとき、となるが、@式は、qmを含まないので、陽子アルファ粒子に代わっても、変位は変化しません。よって、 ......[]

W(1) 陽子が偏向部を直進したということは、陽子に働くz成分が0になったということです。陽子が受けるローレンツ力は、大きさで、フレミング左手の法則より、z軸負方向を向きます。
陽子に働くz方向のつり合い
......[]
偏向部を通過する時間は、磁界のない場合(Tの)と同じです。
......[]

(2) 磁界が及ぼすローレンツ力と、電界が及ぼす力の合力は、向きが絶えず変化するので、この問題は、運動方程式を立てても解くことができません。そこでエネルギーを考えます
ローレンツ力はつねに陽子速度垂直なので、陽子に対して仕事をしません陽子仕事をするのは電界だけです。
電界陽子に及ぼすにより、だけ変位するので、電界陽子にする仕事は、
エネルギーの原理より、
......[]

(3) のとき、Tより、
のとき、W(1)より、
においては、右図のように、
速度に垂直にローレンツ力が働き、このローレンツ力y成分によって、陽子速さが増大するから、偏向部を通過する時間は短くなります。よって、グラフは、() ......[] を選びます。


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